FM和FFM模型是最近几年提出的模型，凭借其在数据量比较大并且特征稀疏的情况下，仍然能够得到优秀的性能和效果的特性，屡次在各大公司举办的CTR预估比赛中获得不错的战绩。美团点评技术团队在搭建DSP的过程中，探索并使用了FM和FFM模型进行CTR和CVR预估，并且取得了不错的效果。本文旨在把我们对FM和FFM原理的探索和应用的经验介绍给有兴趣的读者。

前言

在计算广告领域，点击率CTR（click-through rate）和转化率CVR（conversion rate）是衡量广告流量的两个关键指标。准确的估计CTR、CVR对于提高流量的价值，增加广告收入有重要的指导作用。预估CTR/CVR，业界常用的方法有人工特征工程 + LR(Logistic Regression)、GBDT(Gradient Boosting Decision Tree) + LR[1][2][3]、FM（Factorization Machine）[2][7]和FFM（Field-aware Factorization Machine）[9]模型。在这些模型中，FM和FFM近年来表现突出，分别在由Criteo和Avazu举办的CTR预测竞赛中夺得冠军[4][5]。

考虑到FFM模型在CTR预估比赛中的不俗战绩，美团点评技术团队在搭建DSP（Demand Side Platform）[6]平台时，在站内CTR/CVR的预估上使用了该模型，取得了不错的效果。本文是基于对FFM模型的深度调研和使用经验，从原理、实现和应用几个方面对FFM进行探讨，希望能够从原理上解释FFM模型在点击率预估上取得优秀效果的原因。因为FFM是在FM的基础上改进得来的，所以我们首先引入FM模型，本文章节组织方式如下：

1. 首先介绍FM的原理。
2. 其次介绍FFM对FM的改进。
3. 然后介绍FFM的实现细节。
4. 最后介绍模型在DSP场景的应用。

FM原理

FM（Factorization Machine）是由Konstanz大学Steffen Rendle（现任职于Google）于2010年最早提出的，旨在解决稀疏数据下的特征组合问题[7]。下面以一个示例引入FM模型。假设一个广告分类的问题，根据用户和广告位相关的特征，预测用户是否点击了广告。源数据如下[8]

Clicked?	Country	Day	Ad_type
1	USA	26/11/15	Movie
0	China	1/7/14	Game
1	China	19/2/15	Game

"Clicked?"是label，Country、Day、Ad_type是特征。由于三种特征都是categorical类型的，需要经过独热编码（One-Hot Encoding）转换成数值型特征。

Clicked?	Country=USA	Country=China	Day=26/11/15	Day=1/7/14	Day=19/2/15	Ad_type=Movie	Ad_type=Game
1	1	0	1	0	0	1	0
0	0	1	0	1	0	0	1
1	0	1	0	0	1	0	1

由上表可以看出，经过One-Hot编码之后，大部分样本数据特征是比较稀疏的。上面的样例中，每个样本有7维特征，但平均仅有3维特征具有非零值。实际上，这种情况并不是此例独有的，在真实应用场景中这种情况普遍存在。例如，CTR/CVR预测时，用户的性别、职业、教育水平、品类偏好，商品的品类等，经过One-Hot编码转换后都会导致样本数据的稀疏性。特别是商品品类这种类型的特征，如商品的末级品类约有550个，采用One-Hot编码生成550个数值特征，但每个样本的这550个特征，有且仅有一个是有效的（非零）。由此可见，数据稀疏性是实际问题中不可避免的挑战。

One-Hot编码的另一个特点就是导致特征空间大。例如，商品品类有550维特征，一个categorical特征转换为550维数值特征，特征空间剧增。

同时通过观察大量的样本数据可以发现，某些特征经过关联之后，与label之间的相关性就会提高。例如，“USA”与“Thanksgiving”、“China”与“Chinese New Year”这样的关联特征，对用户的点击有着正向的影响。换句话说，来自“China”的用户很可能会在“Chinese New Year”有大量的浏览、购买行为，而在“Thanksgiving”却不会有特别的消费行为。这种关联特征与label的正向相关性在实际问题中是普遍存在的，如“化妆品”类商品与“女”性，“球类运动配件”的商品与“男”性，“电影票”的商品与“电影”品类偏好等。因此，引入两个特征的组合是非常有意义的。

多项式模型是包含特征组合的最直观的模型。在多项式模型中，特征 xi

和 xj 的组合采用 xixj 表示，即 xi 和 xj 都非零时，组合特征 xixj

才有意义。从对比的角度，本文只讨论二阶多项式模型。模型的表达式如下

其中，n

代表样本的特征数量，xi 是第 i 个特征的值，w0、wi、wij

是模型参数。

从公式(1)

可以看出，组合特征的参数一共有 n(n−1)2 个，任意两个参数都是独立的。然而，在数据稀疏性普遍存在的实际应用场景中，二次项参数的训练是很困难的。其原因是，每个参数 wij 的训练需要大量 xi 和 xj 都非零的样本；由于样本数据本来就比较稀疏，满足“xi 和 xj 都非零”的样本将会非常少。训练样本的不足，很容易导致参数 wij

不准确，最终将严重影响模型的性能。

那么，如何解决二次项参数的训练问题呢？矩阵分解提供了一种解决思路。在model-based的协同过滤中，一个rating矩阵可以分解为user矩阵和item矩阵，每个user和item都可以采用一个隐向量表示[8]。比如在下图中的例子中，我们把每个user表示成一个二维向量，同时把每个item表示成一个二维向量，两个向量的点积就是矩阵中user对item的打分。

类似地，所有二次项参数 wij

可以组成一个对称阵 W（为了方便说明FM的由来，对角元素可以设置为正实数），那么这个矩阵就可以分解为 W=VTV，V 的第 j 列便是第 j 维特征的隐向量。换句话说，每个参数 wij=⟨vi,vj⟩

，这就是FM模型的核心思想。因此，FM的模型方程为（本文不讨论FM的高阶形式）

其中，vi

是第 i 维特征的隐向量，⟨⋅,⋅⟩ 代表向量点积。隐向量的长度为 k（k<<n），包含 k 个描述特征的因子。根据公式(2)，二次项的参数数量减少为 kn个，远少于多项式模型的参数数量。另外，参数因子化使得 xhxi 的参数和 xixj 的参数不再是相互独立的，因此我们可以在样本稀疏的情况下相对合理地估计FM的二次项参数。具体来说，xhxi 和 xixj 的系数分别为 ⟨vh,vi⟩ 和 ⟨vi,vj⟩，它们之间有共同项 vi。也就是说，所有包含“xi 的非零组合特征”（存在某个 j≠i，使得 xixj≠0）的样本都可以用来学习隐向量 vi，这很大程度上避免了数据稀疏性造成的影响。而在多项式模型中，whi 和 wij

是相互独立的。

显而易见，公式(2)

是一个通用的拟合方程，可以采用不同的损失函数用于解决回归、二元分类等问题，比如可以采用MSE（Mean Square Error）损失函数来求解回归问题，也可以采用Hinge/Cross-Entropy损失来求解分类问题。当然，在进行二元分类时，FM的输出需要经过sigmoid变换，这与Logistic回归是一样的。直观上看，FM的复杂度是 O(kn2)。但是，通过公式(3)的等式，FM的二次项可以化简，其复杂度可以优化到 O(kn)

[7]。由此可见，FM可以在线性时间对新样本作出预测。

我们再来看一下FM的训练复杂度，利用SGD（Stochastic Gradient Descent）训练模型。模型各个参数的梯度如下

其中，vj,f

是隐向量 vj 的第 f 个元素。由于 ∑nj=1vj,fxj 只与 f 有关，而与 i 无关，在每次迭代过程中，只需计算一次所有 f 的 ∑nj=1vj,fxj，就能够方便地得到所有 vi,f 的梯度。显然，计算所有 f 的 ∑nj=1vj,fxj 的复杂度是 O(kn)；已知 ∑nj=1vj,fxj 时，计算每个参数梯度的复杂度是 O(1)；得到梯度后，更新每个参数的复杂度是 O(1)；模型参数一共有 nk+n+1 个。因此，FM参数训练的复杂度也是 O(kn)

。综上可知，FM可以在线性时间训练和预测，是一种非常高效的模型。

FM与其他模型的对比

FM是一种比较灵活的模型，通过合适的特征变换方式，FM可以模拟二阶多项式核的SVM模型、MF模型、SVD++模型等[7]。

相比SVM的二阶多项式核而言，FM在样本稀疏的情况下是有优势的；而且，FM的训练/预测复杂度是线性的，而二项多项式核SVM需要计算核矩阵，核矩阵复杂度就是N平方。

相比MF而言，我们把MF中每一项的rating分改写为 rui∼βu+γi+xTuyi

，从公式(2)中可以看出，这相当于只有两类特征 u 和 i

的FM模型。对于FM而言，我们可以加任意多的特征，比如user的历史购买平均值，item的历史购买平均值等，但是MF只能局限在两类特征。SVD++与MF类似，在特征的扩展性上都不如FM，在此不再赘述。

FFM原理

FFM（Field-aware Factorization Machine）最初的概念来自Yu-Chin Juan（阮毓钦，毕业于中国台湾大学，现在美国Criteo工作）与其比赛队员，是他们借鉴了来自Michael Jahrer的论文[14]中的field概念提出了FM的升级版模型。通过引入field的概念，FFM把相同性质的特征归于同一个field。以上面的广告分类为例，“Day=26/11/15”、“Day=1/7/14”、“Day=19/2/15”这三个特征都是代表日期的，可以放到同一个field中。同理，商品的末级品类编码生成了550个特征，这550个特征都是说明商品所属的品类，因此它们也可以放到同一个field中。简单来说，同一个categorical特征经过One-Hot编码生成的数值特征都可以放到同一个field，包括用户性别、职业、品类偏好等。在FFM中，每一维特征 xi

，针对其它特征的每一种field fj，都会学习一个隐向量 vi,fj

。因此，隐向量不仅与特征相关，也与field相关。也就是说，“Day=26/11/15”这个特征与“Country”特征和“Ad_type"特征进行关联的时候使用不同的隐向量，这与“Country”和“Ad_type”的内在差异相符，也是FFM中“field-aware”的由来。

假设样本的 n

个特征属于 f 个field，那么FFM的二次项有 nf

个隐向量。而在FM模型中，每一维特征的隐向量只有一个。FM可以看作FFM的特例，是把所有特征都归属到一个field时的FFM模型。根据FFM的field敏感特性，可以导出其模型方程。

其中，fj

是第 j 个特征所属的field。如果隐向量的长度为 k，那么FFM的二次参数有 nfk 个，远多于FM模型的 nk 个。此外，由于隐向量与field相关，FFM二次项并不能够化简，其预测复杂度是 O(kn2)

。

下面以一个例子简单说明FFM的特征组合方式[9]。输入记录如下

User	Movie	Genre	Price
YuChin	3Idiots	Comedy, Drama	$9.99

这条记录可以编码成5个特征，其中“Genre=Comedy”和“Genre=Drama”属于同一个field，“Price”是数值型，不用One-Hot编码转换。为了方便说明FFM的样本格式，我们将所有的特征和对应的field映射成整数编号。

Field name	Field index	Feature name	Feature index
User	1	User=YuChin	1
Movie	2	Movie=3Idiots	2
Genre	3	Genre=Comedy	3
Price	4	Genre=Drama	4
		Price	5

那么，FFM的组合特征有10项，如下图所示。

其中，红色是field编号，蓝色是特征编号，绿色是此样本的特征取值。二次项的系数是通过与特征field相关的隐向量点积得到的，二次项共有 n(n−1)2

个。

FFM实现

Yu-Chin Juan实现了一个C++版的FFM模型，源码可从Github下载[10]。这个版本的FFM省略了常数项和一次项，模型方程如下。

其中，2

是非零特征的二元组合，j1 是特征，属于field f1，wj1,f2 是特征 j1 对field f2

的隐向量。此FFM模型采用logistic loss作为损失函数，和L2惩罚项，因此只能用于二元分类问题。

其中，yi∈{−1,1}

是第 i 个样本的label，L 是训练样本数量，λ

是惩罚项系数。模型采用SGD优化，优化流程如下。

参考 Algorithm1

, 下面简单解释一下FFM的SGD优化过程。
算法的输入 tr、va、pa

分别是训练样本集、验证样本集和训练参数设置。

1. 根据样本特征数量（tr.n

）、field的个数（tr.m）和训练参数（pa