白话经典算法系列之七 堆与堆排序

二叉堆的定义

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展示一个最小堆：

由于其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，一般将二叉堆就简称为堆。

堆的存储

一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

堆的操作——插入删除

下面先给出《数据结构C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。

堆的插入

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，对照《白话经典算法系列之二 直接插入排序的三种实现》不难写出插入一个新数据时堆的调整代码：

    //  新加入i结点  其父结点为(i - 1) / 2  
    void MinHeapFixup(int a[], int i)  
    {  
        int j, temp;  
          
        temp = a[i];  
        j = (i - 1) / 2;      //父结点  
        while (j >= 0 && i != 0)  
        {  
            if (a[j] <= temp)  
                break;  
              
            a[i] = a[j];     //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点  
            i = j;  
            j = (i - 1) / 2;  
        }  
        a[i] = temp;  
    }   

更简短的表达为：

void MinHeapFixup(int a[], int i)  
{  
    for (int j = (i - 1) / 2; (j >= 0 && i != 0)&& a[i] > a[j]; i = j, j = (i - 1) / 2)  
        Swap(a[i], a[j]);  
} 

插入时：

//在最小堆中加入新的数据nNum  
void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)  
{  
    a[n] = nNum;  
    MinHeapFixup(a, n);  
} 

堆的删除

按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。下面给出代码：

//  从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2  
void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)  
{  
    int j, temp;  
  
    temp = a[i];  
    j = 2 * i + 1;  
    while (j < n)  
    {  
        if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的  
            j++;  
  
        if (a[j] >= temp)  
            break;  
  
        a[i] = a[j];     //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点  
        i = j;  
        j = 2 * i + 1;  
    }  
    a[i] = temp;  
}  
//在最小堆中删除数  
void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)  
{  
    Swap(a[0], a[n - 1]);  
    MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);  
} 

堆化数组

有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：

很明显，对叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分别是一个合法的堆。只要从A[4]=50开始向下调整就可以了。然后再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分别作一次向下调整操作就可以了。下图展示了这些步骤：

写出堆化数组的代码：

//建立最小堆  
void MakeMinHeap(int a[], int n)  
{  
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)  
        MinHeapFixdown(a, i, n);  
}

至此，堆的操作就全部完成了(注1)，再来看下如何用堆这种数据结构来进行排序。

堆排序

首先可以看到堆建好之后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。

由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A[0]与A[n - 1]交换，再对A[0…n-2]重新恢复堆。第二次将A[0]与A[n – 2]交换，再对A[0…n - 3]重新恢复堆，重复这样的操作直到A[0]与A[1]交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。有点类似于直接选择排序。

    void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n)  
    {  
        for (int i = n - 1; i >= 1; i--)  
        {  
            Swap(a[i], a[0]);  
            MinHeapFixdown(a, 0, i);  
        }  
    }   

注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。

由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)，共N - 1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操作时间相加还是O(N * logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N * logN)。STL也实现了堆的相关函数，可以参阅《STL系列之四 heap 堆》。

注1 作为一个数据结构，最好用类将其数据和方法封装起来，这样即便于操作，也便于理解。此外，除了堆排序要使用堆，另外还有很多场合可以使用堆来方便和高效的处理数据，以后会一一介绍。